Question

2．已知F₁，F₂是椭圆C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1的左右两个焦点，过F₂的直线l交椭圆于A，B两点，若△ABF₁的面积$\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$．求直线l的方程．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），对直线AB的斜率分类讨论：当AB⊥x轴时，直接验证即可．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：my=x-1，与椭圆方程联立化为（4+3m²）y²+6my-9=0，利用根与系数的关系可得：|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$，|F₁F₂|=2，再利用${S}_{△AB{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}|{y}_{1}-{y}_{2}||{F}_{1}{F}_{2}|$解出即可．

解答 解：∵$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1，∴F₁（-1，0），F₂（1，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①当AB⊥x轴时，把x=1代入椭圆方程可得：$\frac{{y}^{2}}{3}=\frac{3}{4}$，解得$y=±\frac{3}{2}$，
∴|AB|=3，
∴${S}_{△AB{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}|AB||{F}_{1}{F}_{2}|$=$\frac{1}{2}×3×2$=3，不符合题意，舍去．
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：my=x-1，联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
化为（4+3m²）y²+6my-9=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-6m}{4+3{m}^{2}}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-9}{4+3{m}^{2}}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{-6m}{4+3{m}^{2}}）^{2}-\frac{4×（-9）}{4+3{m}^{2}}}$=$\frac{12\sqrt{1+{m}^{2}}}{4+3{m}^{2}}$，
|F₁F₂|=2
∴${S}_{△AB{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}|{y}_{1}-{y}_{2}||{F}_{1}{F}_{2}|$=$\frac{1}{2}×2×\frac{12\sqrt{1+{m}^{2}}}{4+3{m}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，
化为18m⁴-m²-17=0，
解得m²=1，∴m=±1．
∴直线l的方程为：±y=x-1．

点评 本题主要考查了直线与抛物线相交问题弦长问题、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．