Question

6．数列{a_n}的前n项和为S_n，S₃=9a₁，且对n∈N₊，点（n，a_n）恒在直线f（x）=2x+k上，其中k为常数
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由点（n，a_n）恒在直线f（x）=2x+k上，得a_n=2n+k，结合S₃=9a₁列式求得k值，则数列的通项公式可求；
（2）把数列的通项公式代入$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，然后利用裂项相消法求数列的和T_n．

解答 解：（1）由点（n，a_n）恒在直线f（x）=2x+k上，得a_n=2n+k，
又S₃=9a₁，得a₁+a₂+a₃=9a₁，
∴2+k+4+k+6+k=9（2+k），解得k=-1．
∴a_n=2n-1；
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
T_n=$\frac{1}{2}$（$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（$1-\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了数列的函数特性，考查了数列递推式，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．