Question

18．设函数f（x）=x²-ax+lnx（a为常数）．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当0＜a＜2$\sqrt{2}$时，试判断f（x）的单调性；
（Ⅲ）对任意x₀∈[1，2]，使不等式f（x₀）＜mlna对任意a∈（0，$\frac{1}{2}$）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先对f（x）求导，根据导数研究函数的单调性，进而求出函数的极值；
（Ⅱ）利用基本不等式确定导函数在0＜a＜2$\sqrt{2}$时的正负，然后判断f（x）的单调性；
（Ⅲ）采用分离参数m的方法转化成求函数g（a）=$\frac{1-a}{lna}$在（0，$\frac{1}{2}$）上的最值问题．

解答 解：依题意f′（x）=$\frac{1}{x}+2x-a$，
（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），当a=3时，f（x）=x²-3x+lnx，
f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}=\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
当$\frac{1}{2}＜x＜1$时，f′（x）＜0；f（x）单调递减；
当0＜x＜$\frac{1}{2}$，或x＞1时，f′（x）＞0；f（x）单调递增；
所在f（x）_极小值=f（1）=-2，f（x）_极大值=f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{4}-ln2$．
（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x+$\frac{1}{x}$-a，
因为2x+$\frac{1}{x}$$≥2\sqrt{2}$，（当且仅当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，等号成立）
因为0＜a＜2$\sqrt{2}$，
所以f′（x）=2x+$\frac{1}{x}$-a＞0在（0，+∞）上恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（Ⅲ）当a∈（0，$\frac{1}{2}$）时，由（Ⅱ）知，f（x）在[1，2]上单调递增，
所以f（x）_max=f（1）=1-a．
故问等价于：当a∈（0，$\frac{1}{2}$）时，不等式1-a＜mlna恒成立，即m＜$\frac{1-a}{lna}$恒成立．
记g（a）=$\frac{1-a}{lna}$，则g′（a）=$\frac{-alna-1+a}{al{n}^{2}a}$，
令M（a）=-alna-1+a，M′（a）=-lna＞0，
所以M（a）在a∈（0，$\frac{1}{2}$）上单调递增，
M（a）＜M（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}（ln2-1）＜0$，
故g′（a）＜0，所以g（a）=$\frac{1-a}{lna}$在a∈（0，$\frac{1}{2}$）上单调递减，
所以M$≤\frac{1-\frac{1}{2}}{ln\frac{1}{2}}$=-$\frac{1}{2ln2}$，
即实数m的取值范围为（-$∞，-\frac{1}{2ln2}$]．

点评 本题考查了用导数研究函数的极值、最值及单调性问题，还考查了恒成立问题的处理方法，综合性较强．解决恒成立问题常转化成求函数的最值问题解决．