Question

18．设P为曲线C：y=$\sqrt{x}$和直线y=m（m＞0）的交点，l₁是曲线C在P点处的切线．
（1）求直线y=m关于l₁的对称直线l₂的方程；
（2）判断直线l₂是否通过一个与m无关的定点，若通过，求此定点的坐标；若不通过，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得P的坐标，求出y=$\sqrt{x}$的导数，求得切线的斜率，以及切线方程，在直线y=m上取一点（0，m），关于直线l₁的对称点为（a，b），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件，解方程可得a，b，进而得到直线l₂的方程；
（2）由直线l₂的方程，可令x=$\frac{1}{4}$，可得y=0，即可判断直线l₂通过一个与m无关的定点．

解答 解：（1）P为曲线C：y=$\sqrt{x}$和直线y=m（m＞0）的交点，
即有P（m²，m），
y=$\sqrt{x}$的导数为y′=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{\sqrt{x}}$，
曲线C在P点处的切线斜率为k=$\frac{1}{2m}$，
即有曲线C在P点处的切线方程为l₁：y-m=$\frac{1}{2m}$（x-m²），
即为x-2my+m²=0，
在直线y=m上取一点（0，m），关于直线l₁的对称点为（a，b），
即有$\frac{b-m}{a}$=-2m，$\frac{a}{2}$-m（m+b）+m²=0，
解得a=$\frac{2{m}^{2}}{1+4{m}^{2}}$，b=$\frac{m}{1+4{m}^{2}}$．
即有l₂的斜率为$\frac{\frac{m}{1+4{m}^{2}}-m}{\frac{2{m}^{2}}{1+4{m}^{2}}-{m}^{2}}$=$\frac{4m}{4{m}^{2}-1}$，
则l₂：y-m=$\frac{4m}{4{m}^{2}-1}$（x-m²），
即有对称直线l₂的方程为y=$\frac{4m}{4{m}^{2}-1}$x-$\frac{m}{4{m}^{2}-1}$；
（2）由直线l₂的方程为y=$\frac{4m}{4{m}^{2}-1}$x-$\frac{m}{4{m}^{2}-1}$；
可令x=$\frac{1}{4}$，可得y=$\frac{4m}{4{m}^{2}-1}$•$\frac{1}{4}$-$\frac{m}{4{m}^{2}-1}$=0，
故直线l₂通过一个与m无关的定点，此定点的坐标为（$\frac{1}{4}$，0）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，主要考查导数的几何意义和直线和直线的对称问题，同时考查直线恒过定点问题，属于中档题和易错题．