Question

16．已知A（-1，0）、B（1，0）为双曲线的左、右顶点，F（2，0）是其右焦点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点A的直线l与双曲线右支交于另一个点P（不同于B点），且与在点B处x轴的垂线交于点D，求证：以BD为直径的圆与直线PF相切．

Answer 1

分析 （1）由题意可知a=1，c=2，由a，b，c的关系可得b，即有双曲线的方程；
（2）设P（m，n），求得直线AP的方程，令x=1，求得D的坐标，求得以线段BD为直径的圆的圆心和半径，讨论①当m=2时，②当m≠2时，运用直线和圆相切的条件，以及点到直线的距离公式，计算即可得证．

解答 （1）解：由题意可知a=1，c=2，则b²=2²-1²=3，
故双曲线的标准方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）证明：设P（m，n），则直线AP的方程为y=$\frac{n}{m+1}$（x+1），
令x=1得D（1，$\frac{2n}{m+1}$），
则以线段BD为直径的圆的圆心为M（1，$\frac{n}{m+1}$），半径为|$\frac{n}{m+1}$|．
①当m=2时，直线PF⊥x轴，此时圆心到直线PF的距离为1，而圆的半径为|$\frac{n}{3}$|．
又点P（2，n）在椭圆上，则有4-$\frac{{n}^{2}}{3}$=1，则n²=9，n=±3，
则圆的半径|$\frac{n}{3}$|=1，则以线段BD为直径的圆与直线PF相切；
②当m≠2时，则直线PF的方程为y=$\frac{n}{m-2}$（x-2），即nx+（2-m）y-2n=0，
则圆心M到直线PF的距离为d=$\frac{|n+（2-m）•\frac{n}{m+1}-2n|}{\sqrt{{n}^{2}+{（2-m）}^{2}}}$
=$\frac{|（2-m）•\frac{n}{m+1}-n|\sqrt{{n}^{2}+{（2-m）}^{2}}}{\;}$=$\frac{|1-2m|}{\sqrt{{n}^{2}+（2-m）^{2}}}$|$\frac{n}{m+1}$|，
又P（m，n）在椭圆上，则有m²-$\frac{{n}^{2}}{3}$=1，即n²=3（m²-1），
则$\sqrt{{n}^{2}+（2-m）^{2}}$=$\sqrt{3（{m}^{2}-1）+4-4m+{m}^{2}}$=$\sqrt{（2m-1）^{2}}$=|2m-1|，
则d=$\frac{\left|1-2m\right|}{\left|2m-1\right|}$•|$\frac{n}{m+1}$|=|$\frac{n}{m+1}$|，故以线段BD为直径的圆与直线PF相切．
综上，线段BD为直径的圆与直线PF相切．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，同时考查直线和圆的位置关系，主要是相切，掌握直线方程的点斜式和点到直线的距离公式是解题的关键．