Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x，x≥0\\{x^3}，x＜0\end{array}$，若函数g（x）=|f（x）|-x-b有四个不同的零点，则b实数的取值范围为$（{0，\frac{1}{4}}）$．

Answer 1

分析 在同一坐标系中画出函数y=|f（x）|与y=x+b的图象，结合图象得出
0＜b＜$\frac{1}{4}$时，函数y=|f（x）|与y=x+b有4个交点，即函数g（x）=|f（x）|-x-b有四个不同的零点．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x，x≥0\\{x^3}，x＜0\end{array}$，
在同一坐标系中画出函数y=|f（x）|与y=x+b的图象，如图所示；

∴当b=0时，函数y=x与y=|f（x）|有3个不同的交点；
令$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{y={-x}^{2}+2x}\end{array}\right.$，
消去y，得x²-x+b=0，
令△=1-4b=0，
解得b=$\frac{1}{4}$，此时函数y=x与y=|f（x）|有3个不同的交点；
∴当0＜b＜$\frac{1}{4}$时，函数y=|f（x）|与y=x+b有4个交点；
∴函数g（x）=|f（x）|-x-b有四个不同的零点时，b实数的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$）．
故答案为：（0，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数零点的应用问题，是基础题目．