Question

20．在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，AB=8，AC=6，BC=10，A₁A=6，D是BC边的中点．
（1）求证：AB⊥A₁C；       
（2）求证：A₁C∥面AB₁D；
（3）求点A到面A₁BC的距离．

Answer 1

分析 （I）由已知及勾股定理可得AC⊥AB，又A₁A⊥平面ABC，可得A₁A⊥AB，又A₁A∩AC=A，即可判定AB⊥面C₁A，从而可证AB⊥A₁C．
（2）设A₁B与AB₁的交点为E，连结DE，可证DE∥A₁C，又DE?平面ADB₁，A₁C?平面ADB₁，从而可证明A₁C∥平面ADB₁．
（3）用等体积法即可求得点A到面A₁BC的距离．

解答 （本小题满分14分）
证明：（ I）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三边长AB=8，AC=6，BC=10，
∴AC⊥AB，…（2分）
又A₁A⊥平面ABC，∴A₁A⊥AB，A₁A∩AC=A，
∴AB⊥面C₁A
∴AB⊥A₁C…（5分）
（2）设A₁B与AB₁的交点为E，连结DE…．（6分）
∵D是 BC的中点，E是AB₁的中点，∴DE∥A₁C…（8分）
∵DE?平面ADB₁，A₁C?平面ADB₁，
∴A₁C∥平面ADB₁ …（10分）
（3）∵由已知可得：A₁B=10，A₁C=6$\sqrt{2}$，BC=10
∴S_△ABC=$\sqrt{1476}$=2$\sqrt{369}$，
${V}_{{A}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB×AC×{A}_{1}A$=48．
∴A到面A₁BC的距离d=$\frac{48}{2\sqrt{369}}$=$\frac{24\sqrt{369}}{369}$．------------（14分）

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，点、线、面间的距离计算，考查了转化思想，属于中档题．