Question

12．如图，⊙O是等腰梯形ABCD的内切圆，M是切点，AM、BM分别与⊙O交于点P、T，则$\frac{AM}{AP}$+$\frac{BM}{BT}$的值等于10．

Answer 1

分析 设AB，BC，CD，DA与圆的切点分别为K，L，M，N，则$\frac{AM}{AP}$=$\frac{A{M}^{2}}{A{N}^{2}}$，同理$\frac{BM}{BT}$=$\frac{B{M}^{2}}{B{L}^{2}}$，再利用余弦定理，即可得出结论．

解答 解：设AB，BC，CD，DA与圆的切点分别为K，L，M，N，则
∵AN是AP，AM的等比中项，
∴$\frac{AM}{AP}$=$\frac{A{M}^{2}}{A{N}^{2}}$，
同理$\frac{BM}{BT}$=$\frac{B{M}^{2}}{B{L}^{2}}$，
设KA=AN=ND=DM=a，KB=BL=LC=CM=b，∠D=α，∠C=π-α，则
AM²=a²+4a²-2a•2a•cosα，BM²=b²+4b²-2b•2b•cos（π-α），
∴$\frac{AM}{AP}$=$\frac{A{M}^{2}}{A{N}^{2}}$=5-4cosα，$\frac{BM}{BT}$=$\frac{B{M}^{2}}{B{L}^{2}}$=5+4cosα，
∴$\frac{AM}{AP}$+$\frac{BM}{BT}$=10．
故答案为：10．

点评 本题考查与圆有关的比例线段，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．