Question

11．已知椭圆C₁与椭圆$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{2}=1$有相同的焦点，且过点$（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．
（1）求椭圆方程
（2）若P是椭圆C₁上一点，F₁、F₂为椭圆C₁的左、右焦点，PF₁⊥PF₂，求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

分析 （1）根据两个椭圆有相同的焦点，利用待定系数法即可求椭圆方程
（2）求出焦点坐标，利用构造定义结合三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）∵椭圆C₁与椭圆$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{2}=1$有相同的焦点，
∴可设方程为$\frac{{x}^{2}}{m+3}+\frac{{y}^{2}}{m}=1$（m＞0），
把点$（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$代入可得$\frac{1}{m+3}+\frac{3}{4m}=1$，解得m=1．
∴椭圆C₁的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）由椭圆C₁的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，可得F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0）；
∵PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=（2$\sqrt{3}$）²=12，
∵|PF₁|+|PF₂|=4，
∴|PF₁||PF₂|=2
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|=$\frac{1}{2}×2$=1．

点评 本题考查了椭圆的定义及其性质、三角形的面积计算公式等基础知识与基本方法，属于中档题．