Question

18．求通项公式：
（1）a₁=1，a_n+1=2ⁿa_n．
（2）a₁=1，a_n=a_n-1+n（n≥2）．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推关系，利用累积法进行求解即可．
（2）根据数列的递推关系，利用累加法进行求解即可．

解答 解：（1）若a₁=1，a_n+1=2ⁿa_n，则$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2ⁿ，
则a_n=a₁•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}…$$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=1•2•2²•2³…2^n-1=2^{1+2+…+（n-1）}=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$．
（2）∵a₁=1，a_n=a_n-1+n（n≥2），
∴a₂-a₁=1，a₃-a₂=2，a₄-a₃=3，
…a_n-a_n-1=n，
等式两边相加得a_n-a₁=2+3+…+n，
∴a_n=1+2+3+…+n=$\frac{（1+n）n}{2}$．

点评 本题主要考查数列通项公式的求解，利用累积法和累加法是解决本题的关键．