Question

15．三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=60°，PA=a，PB=b，PC=c，求此三棱锥的体积．

Answer 1

分析 利用三面角公式求出PC与底面所成角的余弦函数值，然后求出C到底面的距离，底面PAB的面积，即可求解三棱锥的体积．

解答 解：由题意三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=60°，可知PC在底面PAB内的射影是∠BPA的平分线，
PC与∠BPA的平分线的夹角为θ，由三面角公式可得：cos60°=cos30°cosθ，
可得cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
C到底面PAB是距离为：PCsinθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$c．
底面PAB三角形的面积为：$\frac{1}{2}absin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}ab$．
三棱锥的体积为：$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}ab×\frac{\sqrt{6}}{3}c$=$\frac{\sqrt{2}}{12}abc$．

点评 本题考查三面角公式的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力以及空间想象能力．