Question

8．已知双曲线C：2x²-y²=2与点P（1，2）．
（1）求过点P（1，2）的直线l的斜率k的取值范围，使l与C只有一个交点；
（2）是否存在过点P的弦AB，使AB的中点为P？

Answer 1

分析 （1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点．当l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k（x-1），代入C的方程，并整理得（2-k²）x²+2（k²-2k）x-k²+4k-6=0，然后进行分类讨论，把直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题进行求解．
（2）假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2两式相减得．2（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），再由点差法进行求出直线AB的斜率，继而的得到直线方程，再和曲线构造方程组，判断方程组是否有两个解，问题得以解决．

解答 解：（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点．
当l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k（x-1），代入C的方程，
并整理得（2-k²）x²+2（k²-2k）x-k²+4k-6=0 （^*）
（ⅰ）当2-k²=0，即k=±$\sqrt{2}$时，方程（^*）有一个根，l与C有一个交点
（ⅱ）当2-k²≠0，即k≠±$\sqrt{2}$时
△=[2（k²-2k）]²-4（2-k²）（-k²+4k-6）=16（3-2k）
①当△=0，即3-2k=0，k=$\frac{3}{2}$时，方程（^*）有一个实根，l与C有一个交点．
综上知：当k=±$\sqrt{2}$，或k=$\frac{3}{2}$，或k不存在时，l与C只有一个交点；
（2）假设以P为中点的弦存在，设为AB，
且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2，
两式相减得2（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂）
又∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=4，
∴4（x₁-x₂）=4（y₁-y₂）  
即k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，
∴直线AB的方程为y-2=x-1，即y=x+1
代入双曲线方程2x²-y²=2，可得，x²-2x-3=0，
解得x=3，或x=-1，则该直线AB存在．

点评 本题考查双曲线的方程和运用，考查点差法求中点问题，注意检验判别式的符号，考查运算能力，属于中档题和易错题