Question

20．已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线，与抛物线交于A，B两点，若$\frac{|AF|}{|BF|}$∈（0，1），则$\frac{|AF|}{|BF|}$=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 点斜式设出直线l的方程，代入抛物线方程，求出A，B两点的纵坐标，利用抛物线的定义 $\frac{|AF|}{|BF|}$=$\frac{{y}_{1}+\frac{p}{2}}{{y}_{2}+\frac{p}{2}}$，求出$\frac{|AF|}{|BF|}$的值．

解答 解：设直线l的方程为：x=$\sqrt{3}$（y-$\frac{p}{2}$），再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}=2px\\ x=\sqrt{3}（y-\frac{p}{2}）\end{array}\right.$，∴12y²-20py+3p²=0，解得y₁=$\frac{p}{6}$，y₂=$\frac{3p}{2}$，
∴$\frac{|AF|}{|BF|}$=$\frac{{y}_{1}+\frac{p}{2}}{{y}_{2}+\frac{p}{2}}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用抛物线的定义，$\frac{|AF|}{|BF|}$=$\frac{{y}_{1}+\frac{p}{2}}{{y}_{2}+\frac{p}{2}}$是解题的关键．