Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD，BD⊥PC，E是PA的中点．
（1）求证：平面PAC⊥平面EBD；
（2）若PA=AB=AC=2，求三棱锥P-EBD的高．

Answer 1

分析 （1）首先根据线面的垂直转化成线线垂直，进一步利用线面垂直的判定得到线面垂直，进一步转化成面面垂直．
（2）利用（1）的结论得到平行四边形ABCD为菱形，进一步求出${S}_{△ABD}=\sqrt{3}$和${S}_{△EBD}=\sqrt{6}$，最后利用锥体的体积公式求出锥体的高．

解答 证明：（1）在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD，
BD?平面ABCD，
则：PA⊥BD，
又BD⊥PC，
所以：BD⊥平面PAC．
由于BD?平面EBD，
所以：平面PAC⊥平面EBD．
（2）由（1）得到：BD⊥平面PAC，
所以：BD⊥AC．
所以：平行四边形ABCD为菱形．
由于PA=AB=AC=2，
所以：∠BAD=120°，
S_△ABD=$\frac{1}{2}AC•\frac{1}{2}BD$=$\sqrt{3}$
E是PA的中点．连接OE，
得到：BD⊥OE．
所以：PC=$\sqrt{{PA}^{2}+{AC}^{2}}=2\sqrt{2}$，
所以：$OE=\frac{1}{2}PC=\sqrt{2}$，
S_△EBD=$\frac{1}{2}$BD•OE=$\sqrt{6}$．
设三棱锥P-EBD的高为h，则：V_P-EBD=V_E-ABD，
$\frac{1}{3}{S}_{△EBD}•h=\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•AE$，
解得：h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查的知识要点：线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，锥体的体积公式的应用．及相关的运算问题．