Question

5．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则$\frac{y}{x-a}$的最大值是（　　）

• A． $\frac{2}{7}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由题设条件，目标函数z=x+ay，取得最小值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故目标函数中y的系数必为负，最小值应在左上方边界AC上取到，即x+ay=0应与直线AC平行，进而计算可得a值，最后结合目标函数$\frac{y}{x-a}$的几何意义求出答案即可．

解答 解：由题意，最优解应在线段AC上取到，故x+ay=0应与直线AC平行，
∵k_AC=$\frac{2-1}{4-1}$=$\frac{1}{3}$，
∴-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{3}$，
∴a=-3，
则$\frac{y}{x-a}$=$\frac{y-0}{x-（-3）}$表示点P（-3，0）与可行域内的点Q（x，y）连线的斜率，
由图得，当Q（x，y）=C（4，2）时，
其取得最大值，最大值是$\frac{2}{4-（-3）}$=$\frac{2}{7}$．
故选A．

点评 本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆用题型，利用最优解的特征，判断出最优解的位置求参数，属于中档题．