Question

10．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的顶点在同一个球面上，AB=3，AC=4，AA₁=2$\sqrt{6}$，∠BAC=90°，则球的表面积49π．

Answer 1

分析 画出球的内接直三棱ABC-A₁B₁C₁，求出球的半径，然后可求球的表面积．

解答 解：如图，由于∠BAC=90°，连接上下底面外心PQ，O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，则球的半径为OB，
由题意，AB=3，AC=4，∠BAC=90°，所以BC=5，
因为AA₁=2$\sqrt{6}$，所以OP=$\sqrt{6}$，
所以OB=$\sqrt{6+\frac{25}{4}}$=$\frac{7}{2}$
所以球的表面积为：4π×OB²=49π
故答案为：49π．

点评 本题考查球的体积和表面积，球的内接体问题，考查学生空间想象能力理解失误能力，是基础题．