Question

15．已知函数f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx，则下列命题正确的是①③④⑤
（填上你认为正确的所有命题的序号）
①函数f（x）的最大值为2；
②函数f（x）的图象关于点（-$\frac{π}{6}$，0）对称；
③函数f（x）的图象与函数h（x）=2sin（x-$\frac{2π}{3}$）的图象关于x轴对称；
④若实数m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三个实数解x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃=$\frac{7π}{3}$；
⑤设函数g（x）=f（x）+2x，若g（θ-1）+g（θ）+g（θ+1）=-2π，则θ=-$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 先把函数f（x）利用两角和的正弦公式化成标准形式，然后逐个判断，对于③，方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三个实数解，在一个周期内有三个实数解，其中两个解一定为区间的两个端点；对于④，代入使表达式恒成立，求出θ的值．

解答 解：∵f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$）
∴函数f（x）的最大值为2，①正确；
当x=-$\frac{π}{6}$时，f（$\frac{π}{6}$）=2，②不正确；
函数f（x）的图象关于x轴对称的解析式为y=-2sin（x+$\frac{π}{3}$）=2sin（x+$\frac{π}{3}$-π）=2sin（x-$\frac{2π}{3}$），③正确；
若实数m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三个实数解x₁，x₂，x₃，则x₁=0，x₂=$\frac{π}{3}$，x₃=2π，所以x₁+x₂+x₃=$\frac{7π}{3}$，④正确；
g（x）=f（x）+2x=2sin（x+$\frac{π}{3}$）+2x，
g（θ-1）+g（θ）+g（θ+1）
=2sin（θ-1+$\frac{π}{3}$）+2（θ-1）+2sin（θ+$\frac{π}{3}$）+2θ+2sin（θ+1+$\frac{π}{3}$）+2（θ+1）
=2sin（θ+$\frac{π}{3}$）（1+2cos1）+6θ=-2π
所以sin（θ+$\frac{π}{3}$）=0，6θ=-2π，所以$θ=-\frac{π}{3}$．⑤正确．
故答案为：①③④⑤．

点评 本题考查了三角函数式的化简，三角函数的最值、对称性及三角方程，综合性强，解决这类问题的关键是把三角函数式化成标准形式．