Question

5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中$A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}$）的图象如图所示，把函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．
（Ⅰ）求函数y=g（x）的表达式；
（Ⅱ）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，g（C）=0．若向量$\overrightarrow{m}=（1，sinA）$与$\overrightarrow{n}=（2，sinB）$共线，求a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式；再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式．
（Ⅱ）已知△ABC中，由c=3，g（C）=0求得C的值，再由向量$\overrightarrow{m}=（1，sinA）$与$\overrightarrow{n}=（2，sinB）$共线利用正弦定理求得b=2a，再利用余弦定理求得a、b的值．

解答 解：（Ⅰ）由函数的图象可得A=1，$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{7π}{12}-\frac{π}{3}$，求得ω=2．
再根据五点法作图，可得2×$\frac{π}{3}$+φ=π，求得φ=$\frac{π}{3}$，∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
把函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位，再向下平移1个单位，
得到函数y=g（x）=sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{3}$]-1=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1的图象，即g（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1．
（Ⅱ）已知△ABC中，c=3，g（C）=sin（2C-$\frac{π}{6}$）-1=0，∴sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1．
由0＜C＜π，可得-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，C=$\frac{π}{3}$．
∵向量$\overrightarrow{m}=（1，sinA）$与$\overrightarrow{n}=（2，sinB）$共线，∴$\frac{1}{2}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{a}{b}$，∴b=2a．
再由余弦定理可得c²=9=a²+4a²-2•a•2a•cos$\frac{π}{3}$，求得a=$\sqrt{3}$，∴b=2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦定理和正弦定理，属于中档题．