Question

15．已知在△ABC中，∠A=120°，a=7，b+c=8，求b、c、sinB及△ABC的面积．

Answer 1

分析 利用余弦定理与b+c=8联立可得b，c，再利用正弦定理、三角形的面积计算公式即可得出．

解答 解：由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccosA，
∴7²=8²-2bc+bc，化为bc=15．
联立$\left\{\begin{array}{l}{b+c=8}\\{bc=15}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{c=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=5}\end{array}\right.$．

当b=5，c=3时，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
∴sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{5×sin12{0}^{°}}{7}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×5×3×sin12{0}^{°}$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$；
当b=3，c=5时，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
∴sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{3sin12{0}^{°}}{7}$$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了余弦定理、正弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．