Question

3．已知函数f（x）=e^x+ax-a（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=0处取得极值，求实数a的值；并求此时f（x）在[-2，1]上的最大值；
（Ⅱ）若函数f（x）不存在零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导数，函数f（x）在x=0处取得极值，则f′（0）=1+a=0，解得a=-1，求得极小值2，也为最小值，再求f（-2）和f（1），比较即可得到最大值；
（Ⅱ）函数f（x）不存在零点，即为e^x+ax-a=0无实数解，讨论x=1和若x≠1，即有-a=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$，令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$，求出导数，求得单调区间和极值，可得0＜-a＜e²，即可得到a的范围．

解答 解：（Ⅰ）函数的定义域为R，f′（x）=e^x+a，
由函数f（x）在x=0处取得极值，
则f′（0）=1+a=0，解得a=-1，
即有f（x）=e^x-x+1，f′（x）=e^x-1，
当x＜0时，有f′（x）＜0，f（x）递减，
当x＞0时，有f′（x）＞0，f（x）递增．
则x=0处f（x）取得极小值，也为最小值，且为2，
又f（-2）=e^-2+3，f（1）=e，f（2）＞f（1），
即有f（-2）为最大值e^-2+3；
（Ⅱ）函数f（x）不存在零点，即为
e^x+ax-a=0无实数解，
由于x=1时，e+0=0显然不成立，即有a∈R且a≠0．
若x≠1，即有-a=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{（x-1）^{2}}$，
当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）递增，
当x＜1和1＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）递减．
即有x=2处g（x）取得极小值，为e²，
在x＜1时，g（x）＜0，
则有0＜-a＜e²，
解得-e²＜a＜0，
则实数a的取值范围为（-e²，0）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的零点问题，注意函数与方程的转化思想的运用，考查运算能力，属于中档题．