Question

8．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是点F₁，F₂，其离心率e=$\frac{1}{2}$，点P为椭圆上的一个动点，△PF₁F₂面积的最大值为4$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F₁，$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BD}$=0，求|$\overrightarrow{AC}$|+|$\overrightarrow{BD}$|的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）容易知道当P点为椭圆的上下顶点时，△PF₁F₂面积最大，再根据 椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$可得到关于a，c的方程组$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}c=4\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解该方程组即可得到a，c，b，从而得出椭圆的方程$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（Ⅱ）先容易求出AC，BD中有一条直线不存在斜率时|$\overrightarrow{AC}$|+|$\overrightarrow{BD}$|=14，当直线AC存在斜率k且不为0时，写出直线AC的方程y=k（x+2），联立椭圆的方程消去y得到（3+4k²）x²+16k²x+16k²-48=0，根据韦达定理及弦长公式即可求得$|\overrightarrow{AC}|=\frac{24（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$，把k换上$-\frac{1}{k}$即可得到$|\overrightarrow{BD}|=\frac{24（{k}^{2}+1）}{4+3{k}^{2}}$．所以用k表示出$|\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{BD}|=\frac{168（{k}^{2}+1）}{（3+4{k}^{2}）（4+3{k}^{2}）}$，这时候设k²+1=t，t＞1，从而得到$|\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{BD}|=\frac{168}{12+\frac{t-1}{{t}^{2}}}$，根据导数求出$\frac{t-1}{{t}^{2}}$的范围，从而求出$|\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{BD}|$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，当P是椭圆的上下顶点时△PF₁F₂的面积取最大值；
∴$\frac{1}{2}•2c•b=4\sqrt{3}$；
即$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}c=4\sqrt{3}$①；
由离心率为$e=\frac{1}{2}$得：
$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$②；
∴联立①②解得a=4，c=2，b²=12；
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₁（-2，0）；
∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=0$，∴AC⊥BD；
（1）当直线AC，BD中一条直线斜率不存在时，$|\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{BD}|=8+6=14$；
（2）当直线AC斜率为k，k≠0时，其方程为y=k（x+2），将该方程带入椭圆方程并整理得：
（3+4k²）x²+16k²x+16k²-48=0；
若设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则：${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{16{k}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}$；
∴$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{24（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$；
直线BD的方程为y=$-\frac{1}{k}（x+2）$，同理可得$|\overrightarrow{BD}|=\frac{24（{k}^{2}+1）}{4+3{k}^{2}}$；
∴$|\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{BD}|$=$\frac{168（{k}^{2}+1）^{2}}{（3+4{k}^{2}）（4+3{k}^{2}）}$；
令k²+1=t，t＞1；
∴$|\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{BD}|=\frac{168{t}^{2}}{（4t-1）（3t+1）}$=$\frac{168{t}^{2}}{12{t}^{2}+t-1}$=$\frac{168}{12+\frac{t-1}{{t}^{2}}}$；
设f（t）=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$，（t＞1），f′（t）=$\frac{-t+2}{{t}^{3}}$；
∴t∈（1，2）时，f′（t）＞0，t∈（2，+∞）时，f′（t）＜0；
∴t=2时，f（t）取最大值$\frac{1}{4}$，又f（t）＞0；
∴$0＜\frac{t-1}{{t}^{2}}≤\frac{1}{4}$；
∴$|\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{BD}|$$∈[\frac{96}{7}，14）$；
∴综上得$|\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{BD}|$的取值范围为$[\frac{96}{7}，14]$．

点评 考查三角形的面积公式，椭圆离心率的概念，椭圆的标准方程，a，b，c三个系数的几何意义，直线的点斜式方程，以及弦长公式，根据导数求函数最值的方法．