Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足，2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（0，2λ），$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$λ，-$\frac{1}{2}$λ），且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-1．
（1）求实数λ的值；
（2）求$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角．

Answer 1

分析 （1）运用方程的思想求得向量a，b，再由向量的数量积的坐标表示，即可得到实数λ的值；
（2）运用向量的模的公式和向量的夹角公式，计算即可得到所求夹角．

解答 解：（1）由2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（0，2λ），$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$λ，-$\frac{1}{2}$λ），
解得$\overrightarrow{a}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ，$\frac{1}{2}λ$），$\overrightarrow{b}$=（-$\sqrt{3}λ$，λ），
由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-1，可得-$\frac{3}{2}$λ²+$\frac{1}{2}$λ²=-1，
解得λ=±1；
（2）由于|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{\frac{3}{4}{λ}^{2}+\frac{1}{4}{λ}^{2}}$=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3{λ}^{2}+{λ}^{2}}$=2，
cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=-$\frac{1}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞≤π，
即有$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，同时考查向量的模的公式及向量的夹角的求法，属于基础题．