Question

10．如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2．将△ADE沿DE折起到△A′DE的位置，使A′C⊥CD，如图（2）．
（Ⅰ）求证：DE∥平面A′BC；
（Ⅱ）求证：A′C⊥BE；
（Ⅲ）线段A′D上是否存在点F，使平面CFE⊥平面A′DE．若存在，求出DF的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用D，E分别为AC，AB上的点，且DE∥BC，结合线面平行的判定证明DE∥平面A′BC；
（Ⅱ）证明A'C⊥平面BCDE，再证明：A′C⊥BE；
（Ⅲ）线段A'D上存在点F，DF=1，使平面CFE⊥平面A′DE．

解答 （I）证明：因为D，E分别为AC，AB上的点，且DE∥BC，
又因为DE?平面A′BC，
所以DE∥平面A′BC…（3分）
（II）证明：因为∠C=90°，DE∥BC，
所以DE⊥CD，DE⊥AD，
由题意可知，DE⊥A′D，…（4分）
又A′D∩CD=D，
所以DE⊥平面A′CD，…（5分）
所以BC⊥平面A′CD，…（6分）
所以BC⊥A′C，…（7分）
又A′C⊥CD，且CD∩BC=C，
所以A′C⊥平面BCDE，…（8分）
又BE?平面BCDE，
所以A′C⊥BE…（9分）
（III）解：线段A′D上存在点F，使平面CFE⊥平面A′DE．
理由如下：
因为A′C⊥CD，
所以，在Rt△A′CD中，过点C作CF⊥A′D于F，
由（II）可知，DE⊥平面A′CD，又CF?平面A′CD
所以DE⊥CF，
又A′D∩DE=D，
所以CF⊥平面A′DE，…（12分）
因为CF?平面CEF，
所以平面CFE⊥平面A′DE，
故线段A′D上存在点F，使平面CFE⊥平面A′DE…（13分）
如图（1），因为DE∥BC，
所以，$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$，即$\frac{2}{3}=\frac{AD}{6}$，
所以，AD=4，CD=2．
所以，如图（2），在Rt△A′CD中，A′D=4，CD=2
所以，∠A′DC=60°，
在Rt△CFD中，DF=1…（14分）

点评 本题考查线面平行的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，考查探索性问题，有难度．