Question

2．已知数列{a_n}满足a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，其中n∈N．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=（1+n）（1-a_n），求数列b_n的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推式与等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$即可得出．

解答 解：（1）∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，
∴当n=1时，a₁=1-a₁，解得a₁=$\frac{1}{2}$；
当n≥2时，a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=n-1-a_n-1，相减可得a_n=1+a_n-1，化为a_n-a_n-1=1．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为$\frac{1}{2}$，公差为1，
∴${a}_{n}=\frac{1}{2}+（n-1）$=$\frac{n+1}{2}$．
（2）b_n=（1+n）（1-a_n）=$\frac{1-{n}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{n}^{2}$，
∴数列b_n的前n项和T_n=$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{2}×\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$
=$\frac{6n-n（n+1）（2n+1）}{12}$．

点评 本题考查了递推式、等差数列的通项公式、1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．