Question

9．△ABC中，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$分别表示向量$\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{DE}$、$\overrightarrow{DB}$、$\overrightarrow{EC}$、$\overrightarrow{DN}$、$\overrightarrow{AN}$．

Answer 1

分析 由平行线等分线段定理及中线的定义知，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DB}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{EC}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{DN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BM}=\frac{1}{8}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}[\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）]$，由此能求出结果．

解答 解：如图，△ABC中，
∵$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$，DE∥BC，且与边AC相交于点E，
△ABC的中线AM与DE相交于点N，
∴$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{4}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$，
$\overrightarrow{DB}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{EC}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$，
$\overrightarrow{DN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BM}=\frac{1}{8}\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{8}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$，
$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}[\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）]$=$\frac{1}{8}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$．
∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，
$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{4}（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）$，$\overrightarrow{DB}=\frac{3}{4}\overrightarrow{a}$，
$\overrightarrow{EC}=\frac{3}{4}\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{DN}=\frac{1}{8}（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）$，$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{8}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$．

点评 本题考查平面向量的加法法则的应用，属基础题，解题时要注意平行线等分线段定理的灵活运用．