Question

15．设x、y∈（0，+∞），求证：$\frac{1}{2}$（x+y）²+$\frac{1}{4}$（x+y）≥x$\sqrt{y}$+y$\sqrt{x}$．

Answer 1

分析 对不等式的左边和右边分解因式，运用基本不等式和配方法，结合不等式的可乘性，即可得证．

解答 证明：由于（x+y）²+$\frac{1}{2}$（x+y）-2（x$\sqrt{y}$+y$\sqrt{x}$）
=（x+y）（x+y+$\frac{1}{2}$）-2$\sqrt{xy}$（$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$），
又x+y≥2$\sqrt{xy}$（x，y＞0），①
x+y+$\frac{1}{2}$-$\sqrt{x}$$-\sqrt{y}$=（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2}$）²+（$\sqrt{y}$-$\frac{1}{2}$）²≥0，
（当且仅当x=y=$\frac{1}{4}$取得等号），
即有x+y+$\frac{1}{2}$≥$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$，②
将①②相乘可得，（x+y）（x+y+$\frac{1}{2}$）≥2$\sqrt{xy}$（$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$），
即有（x+y）²+$\frac{1}{2}$（x+y）-2（x$\sqrt{y}$+y$\sqrt{x}$）≥0，
则有$\frac{1}{2}$（x+y）²+$\frac{1}{4}$（x+y）≥x$\sqrt{y}$+y$\sqrt{x}$成立．

点评 本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用和配方法，同时考查不等式的基本性质，属于中档题．