Question

4．已知数列{a_n}满足a₁=-1，a_n+1=$\frac{（3n+3）{a}_{n}+4n+6}{n}$ （n∈N^*），证明：数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$+$\frac{2}{n}$}是等比数列．

Answer 1

分析 根据数列的递推关系，结合等比数列的定义进行证明即可．

解答 证明：由a_n+1=$\frac{（3n+3）{a}_{n}+4n+6}{n}$得a_n+1+2=$\frac{（3n+3）{a}_{n}+4n+6}{n}$+2=$\frac{（3n+3）{a}_{n}+6n+6}{n}$=3（n+1）•$\frac{{a}_{n}+2}{n}$，
即$\frac{{a}_{n+1}+2}{n+1}$=3•$\frac{{a}_{n}+2}{n}$，
即$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$+$\frac{2}{n+1}$=3（$\frac{{a}_{n}}{n}$+$\frac{2}{n}$），
故数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$+$\frac{2}{n}$}是公比为3的等比数列．

点评 本题主要考查等比数列的证明，根据数列的递推关系，将条件进行变形，结合等比数列的定义是解决本题的关键．