Question

9．解关于x的不等式2^3x-2^x＜λ（2^x-2^-x），其中λ∈R．

Answer 1

分析 先将原不等式进行换元，转化为二次不等式，然后通过对λ的讨论解不等式，注意要最终将结果还原为x的范围．

解答 解：由原不等式令t=2^x＞0，则原式可化为：
${t}^{3}-t＜λ（t-\frac{1}{t}）$，整理得（t²-λ）（t²-1）＜0．（t＞0）
当λ≤0时，原不等式即t²-1＜0，所以0＜t＜1，
即0＜2^x＜1=2⁰，故x＜0即为原不等式的解；
当0＜λ＜1时，原不等式化为λ＜t²＜1，所以$\sqrt{λ}＜t＜1$，
即$\sqrt{λ}{＜2}^{x}＜1$，所以$\frac{1}{2}lo{g}_{2}λ＜x＜0$即为所求；
当λ=1时，原不等式无解；
当λ＞1时，原不等式化为1＜t²＜λ，所以$1＜t＜\sqrt{λ}$，
即$1＜{2}^{x}＜\sqrt{λ}$，解得$0＜x＜\frac{1}{2}lo{g}_{2}λ$．
综上可知：当λ≤0时，原不等式的解为x＜0；
当0＜λ＜1时，原不等式的解为$\frac{1}{2}lo{g}_{2}λ＜x＜0$；
当λ=1时，原不等式无解；
当λ＞1时，原不等式的解为$0＜x＜\frac{1}{2}lo{g}_{2}λ$．

点评 本题考查了一元二次不等式、指数不等式的解法，以及分类讨论的数学思想，要注意换元时，中间量t的取值范围．