Question

19．如图，四凌锥P-ABCD而底面ABCD是矩形，侧面PAD是等腰直角三角形∠APD=90°，且平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：PA⊥PC；
（Ⅱ）在AD=2，AB=4，求三棱锥P-ABD的体积；
（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，求四棱锥P-ABCD外接球的表面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用线面垂直的判定，证明PA⊥平面PCD，可得PA⊥PC；
（Ⅱ）过点P作PF⊥AD于F，利用体积公式，即可求三棱锥P-ABD的体积；
（Ⅲ）确定O为球心，球的半径OD，即可求四棱锥P-ABCD的外接球的表面积．

解答 （Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，
∴CD⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，
∴CD⊥PA，
∵∠APD=90°，
∴PA⊥PD，
∵PD∩CD=D，
∴PA⊥平面PCD，
∵PC?平面PCD，
∴PA⊥PC；
（Ⅱ）解：过点P作PF⊥AD于F，则PF⊥平面ABD，PF=1，
∴V_P-ABD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×4×1$=$\frac{4}{3}$；
（Ⅲ）解：由题意，设球心到平面ABCD的距离为h，R=$\sqrt{4+（1-h）^{2}}$=$\sqrt{5+{h}^{2}}$，h=0
∴球的半径OD=$\frac{1}{2}\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为20π．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查三棱锥体积的计算，考查外接球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．