Question

8．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上中点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE∥平面BFD；
（2）求证：AE⊥平面BCE．

Answer 1

分析 （1）依题意可知G是AC中点，而F是EC中点，根据中位线定理可知FG∥AE，又FG?平面BFD，AE?平面BFD，满足线面平行的判定定理的三个条件，从而得证．
（2）根据AD⊥平面ABE，AD∥BC可得BC⊥平面ABE，根据线面垂直的性质可知AE⊥BC，根据BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，而BC∩BF=B，满足线面垂直的判定定理，从而证得结论．

解答 证明：（1）依题意可知：G是AC中点（2分）
∴F是EC中点（5分）
在△AEC中，FG∥AE
又FG?平面BFD，AE?平面BFD
∴AE∥平面BFD（7分）
（2）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC
∴BC⊥平面ABE，而AE?平面ABE则AE⊥BC（9分）
又∵BF⊥平面ACE，而AE?面ACE，则AE⊥BF，BC∩BF=B
∴AE⊥平面BCE（12分）

点评 本题主要考查了线面垂直的判定，以及线面平行的判定和线面垂直的性质，同时考查了推理论证的能力，属于中档题．