Question

17．设集合P={x|x=a+b$\sqrt{3}$，a、b∈N}，对于其中任意两个元素进行加法、减法、除法（除数不能为零）的运算，其结果是否仍属于集合P，证明你的结论．

Answer 1

分析 设也x、y的式子，由实数的加减除运算求出x+y，x-y，$\frac{x}{y}$，都写为a+b$\sqrt{3}$的形式，由a∈N，b∈N，c∈N，d∈N分别判断出所求式子中的数是否属于自然数集，是则符合题意，不是则不符合题意

解答 解：设x=a+b$\sqrt{3}$，y=c+d$\sqrt{3}$，
x+y=（a+c）+（b+d）$\sqrt{3}$，
x-y=（a-c）+（b-d）$\sqrt{3}$，
$\frac{x}{y}$=$\frac{（ac-3bd）+（bc-ad）\sqrt{3}}{{c}^{2}-3{d}^{2}}$，
∵a∈N，b∈N，c∈N，d∈N，
∴a+b∈N，c+d∈N，∴x+y∈P，
∴a-c∈z，b-d∈z，∴x-y∉p，
∴ac+3bd∈N，ad+bc∈N，∴xy∈P，
∴$\frac{ac-3bd}{{c}^{2}-3{d}^{2}}$∈Q，$\frac{bc-ad}{{c}^{2}-3{d}^{2}}$∈Q，∴$\frac{x}{y}$∉P，
∴运算结果属于集合P的有加法运算．

点评 此题考查元素与集合的关系，结合了实数的四则运算，还有若两个数为整数，加减乘除后是否还为整数，这也是一个自定义的题目，解决本题的关键是读懂题意，归纳出规律