Question

7．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4，M，N，E，F分别为A₁D₁，A₁B₁，C₁D₁，B₁C₁的中点，平面AMN与平面EFBD间的距离为$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 连结A₁C₁交MN于P点，交EF于点Q，连结AC交BD于点O，分别连结PA、QO．由已知得四边形PAOQ为平行四边形，由此能证明平面AMN∥平面EFBD．

解答 解：连结A₁C₁交MN于P点，交EF于点Q，
连结AC交BD于点O，分别连结PA、QO．
∵M、N为A₁B₁、A₁D₁的中点，
∴MN∥EF．而EF?面EFBD．
∴MN∥面EFBD．∵PQ∥AO，PQ=AO
∴四边形PAOQ为平行四边形．∴PA∥QO．
而QO?平面EFBD，∴PA∥平面EFBD，
且PA∩MN=P，PA、MN?面AMN．
∴平面AMN∥平面EFBD，
∴平面AMN与平面EFBD间的距离即E到平面AMN的距离，
设E到平面AMN的距离为h，
有V_A-MNE=V_E-AMN，S_△MNE=$\frac{1}{2}$×2×4=4，
AM=AN=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，MN=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，根据勾股定理得AG=3$\sqrt{2}$，S_△AMN=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=6，
V_A-MNE=$\frac{1}{3}$×4×4=$\frac{16}{3}$．
∴h=$\frac{3{V}_{A-MNE}}{{S}_{△AMN}}$=$\frac{16}{6}$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了空间直线的位置关系，平行垂直问题，难度适中，属于中档题．