Question

15．已知a＞0，b＞0，a²+4b²+ab=1，则a+2b的最大值为$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 a²+4b²+ab=1，配方为1=（a+2b）²-3ab，变形利用基本不等式的性质可得：（a+2b）²=1+3ab=1+$\frac{3}{2}•a•2b$≤$1+\frac{3}{2}（\frac{a+2b}{2}）^{2}$，解出即可．

解答 解：a²+4b²+ab=1，配方为1=（a+2b）²-3ab，
∴（a+2b）²=1+3ab=1+$\frac{3}{2}•a•2b$≤$1+\frac{3}{2}（\frac{a+2b}{2}）^{2}$，
化为$（a+2b）^{2}≤\frac{8}{5}$，a＞0，b＞0，
∴0＜a+2b$≤\frac{2\sqrt{10}}{5}$，当且仅当a=2b=$\frac{\sqrt{10}}{5}$时取等号．
则a+2b的最大值为$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．