Question

4．曲线y=x³-3x过点（1，-2）的切线条数为（　　）

• A． 1条
• B． 2条
• C． 3条
• D． 4条

Answer 1

分析 设切点坐标为P（t，-3t+t³），再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，再根据过点（1，-2）和切点的斜率等于切线的斜率，列出方程，求出斜率k，根据斜率的个数即可判断切线的条数，从而得到答案．

解答 解：设切点P（t，t³-3t），
由y=x³-3x，则y′=3x²-3，
即有在点P处切线的斜率为k=y′|_x=t=3t²-3，
则有在点P处切线方程为y-t³+3t=（3t²-3）（x-t），
又切线过点（1，-2），
即有-2-t³+3t=（3t²-3）（1-t），
即为2t³-3t²+1=0，
即有（t-1）²（2t+1）=0，
解得t=1或-$\frac{1}{2}$，
即t有两个解，即k有两个解，
则过点（1，-2）与曲线相切的切线的条数是2．
故选B．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点处切线的方程．解题时要特别注意是“在”还是“过”，若是不能确定是否是切点，则设出切点进行求解．此类问题是易错题，关键要注意审题．属于基础题．