Question

12．已知函数f（x）=ax²-bx（a＞0）和g（x）=lnx的图象有公共点P，且在点P处的切线相同．
（Ⅰ）若点P的坐标为$（\frac{1}{e}，-1）$，求a，b的值；
（Ⅱ）已知a=b，求切点P的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）和g（x）的导数，求出切线的斜率，解a，b的方程，即可得到a，b；
（Ⅱ）设P（s，t），则lns=as²-as①，f′（s）=g′（s），联立消掉a可得关于s的方程，构造函数，根据函数单调性可求得唯一s值，进而可求P的坐标．

解答 （Ⅰ）解：由题意，得$f（\frac{1}{e}）=\frac{a}{e^2}-\frac{b}{e}=-1$，
且f'（x）=2ax-b，$g'（x）=\frac{1}{x}$，
由已知，得$f'（\frac{1}{e}）=g'（\frac{1}{e}）$，即$\frac{2a}{e}-b=e$，
解得a=2e²，b=3e；
（Ⅱ）解：若a=b，则f'（x）=2ax-a，$g'（x）=\frac{1}{x}$，
设切点坐标为（s，t），其中s＞0，
由题意，得 as²-as=lns，①$2as-a=\frac{1}{s}$，②
由②，得 $a=\frac{1}{s（2s-1）}$，其中$s≠\frac{1}{2}$，
代入①，得 $\frac{s-1}{2s-1}=lns$．（*）                  
因为 $a=\frac{1}{s（2s-1）}＞0$，且s＞0，
所以 $s＞\frac{1}{2}$．
设函数 $F（x）=\frac{x-1}{2x-1}-lnx$，$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$，
则 $F'（x）=\frac{-（4x-1）（x-1）}{{x{{（2x-1）}^2}}}$．
令F'（x）=0，解得x=1或$x=\frac{1}{4}$（舍）．
当x变化时，F'（x）与F（x）的变化情况如下表所示，

x	（$\frac{1}{2}$，1）	1	（1，+∞）
F'（x）	+	0	-
F（x）	↗	极大值	↘

所以当x=1时，F（x）取到最大值F（1）=0，
且当$x∈（\frac{1}{2}，1）∪（1，+∞）$时F（x）＜0．
因此，当且仅当x=1时F（x）=0．
所以方程（*）有且仅有一解s=1．
于是t=lns=0，
因此切点P的坐标为（1，0）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义，考查学生灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力，属于中档题．