Question

14．已知函数f（x）=（x²-3x+3）•e^x定义域为[-2，t]（t＞-2）．
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（2）证明：对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足$\frac{{f'（{x_0}）}}{{{e^{x_0}}}}$=$\frac{2}{3}$（t-1）²，并确定这样的x₀的个数．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x=（x²-x）e^x，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而求出t的取值范围；
（2）化简$\frac{{f'（{x_0}）}}{{{e^{x_0}}}}$=$\frac{2}{3}{（t-1）^2}$为x₀²-x₀=$\frac{2}{3}{（t-1）^2}$，再令g（x）=x²-x-$\frac{2}{3}{（t-1）^2}$，从而问题转化为证明方程g（x）=x²-x-$\frac{2}{3}{（t-1）^2}$=0在（-2，t）上有解并讨论解的个数，再求得g（-2）=6-$\frac{2}{3}$（t-1）²=-$\frac{2}{3}（t-4）（t+2）$，g（t）=t（t-1）-$\frac{2}{3}$（t-1）²=$\frac{1}{3}（t+2）（t-1）$，从而分t＞4或-2＜t＜1，1＜t＜4，t=1，t=4讨论，从而证明并解得．

解答 解：（1）因为f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x=（x²-x）e^x，
由f′（x）＞0解得，
x＞1或x＜0，
由f′（x）＜0解得，
0＜x＜1，
∴函数f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
∵函数f（x）在[-2，t]上为单调函数，
∴-2＜t≤0，
（2）证明：∵$\frac{{f'（{x_0}）}}{{{e^{x_0}}}}={x_0}^2-{x_0}$，
又∵$\frac{{f'（{x_0}）}}{{{e^{x_0}}}}$=$\frac{2}{3}{（t-1）^2}$，
即为x₀²-x₀=$\frac{2}{3}{（t-1）^2}$，
令g（x）=x²-x-$\frac{2}{3}{（t-1）^2}$，
从而问题转化为证明方程g（x）=x²-x-$\frac{2}{3}{（t-1）^2}$=0在（-2，t）上有解并讨论解的个数，
因为g（-2）=6-$\frac{2}{3}$（t-1）²=-$\frac{2}{3}（t-4）（t+2）$，
g（t）=t（t-1）-$\frac{2}{3}$（t-1）²=$\frac{1}{3}（t+2）（t-1）$，
①当t＞4或-2＜t＜1时，g（-2）•g（t）＜0，
此时g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解，
②当1＜t＜4时，g（-2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=$-\frac{4}{3}{（t-1）^2}$＜0，
此时g（x）=0在（-2，t）上有解，且有两解，
③当t=1时，g（x）=x²-x=0，解得x=0或1（舍），
此时g（x）=0在（-2，t）上有且只有一解，
④当t=4时，g（x）=x²-x-6=0，解得x=3或-2（舍），
此时g（x）=0在（-2，t）上也有且只有一解，
综上所述，对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足$\frac{{f'（{x_0}）}}{{{e^{x_0}}}}$=$\frac{2}{3}{（t-1）^2}$，
且当t≥4或-2＜t≤1时，有唯一的x₀适合题意，
当1＜t＜4时，有两个x₀适合题意．

点评 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想的应用，属于难题．