Question

5．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的焦点F作弦AB，若丨AF丨=d₁，丨FB丨=d₂，那么$\frac{1}{{d}_{1}}+\frac{1}{{d}_{2}}$的值为$\frac{2a}{{b}^{2}}$．

Answer 1

分析 利用椭圆的标准方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$得出a＞b＞0，e=$\frac{c}{a}$，焦点到准线的距离p，结合此椭圆的极坐标方程为：ρ=$\frac{ep}{1-ecosθ}$，设A（d₁，θ），B（d₂，π+θ），求出d₁，d₂即可求得$\frac{1}{{d}_{1}}+\frac{1}{{d}_{2}}$．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，a＞b＞0，焦点在x轴，e=$\frac{c}{a}$，焦点到准线的距离p=$\frac{{b}^{2}}{c}$．
则此椭圆的极坐标方程为：ρ=$\frac{ep}{1-ecosθ}$，
设A（d₁，θ），B（d₂，π+θ），则|AF|=d₁=$\frac{ep}{1-ecosθ}$，|BF|=d₂=$\frac{ep}{1+ecosθ}$，
则$\frac{1}{{d}_{1}}+\frac{1}{{d}_{2}}$=$\frac{1}{\frac{ep}{1-ecosθ}}+\frac{1}{\frac{ep}{1+ecosθ}}$=$\frac{2}{ep}$=$\frac{2a}{{b}^{2}}$，
故答案为：$\frac{2a}{{b}^{2}}$．

点评 本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、椭圆的极坐标等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．本题解答中用到了椭圆的极坐标，方法新颖，简便．