Question

13．已知a，b，c是正整数，关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根的绝对值均小于$\frac{1}{3}$，求a+b+c的最小值．

Answer 1

分析 由题意和韦达定理可得方程的两根满足-$\frac{1}{3}$＜x₁≤x₂＜0．令f（x）=ax²+bx+c，即有f（-$\frac{1}{3}$）＞0，且对称轴介于
（-$\frac{1}{3}$，0），由不等式的性质可得2a＞3b＞18c．结合前者，可得最小为a=16，b=8，c=1．即可得到最小值．

解答 解：由于a，b，c是正整数，关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，
则判别式△=b²-4ac≥0，
若方程的两根设为x₁，x₂，且x₁≤x₂，
则由题设可得x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
则-$\frac{1}{3}$＜x₁≤x₂＜0．
令f（x）=ax²+bx+c，即有f（-$\frac{1}{3}$）＞0，
即$\frac{a}{9}$-$\frac{1}{3}$b+c＞0，且-$\frac{1}{3}$＜-$\frac{b}{2a}$＜0．
整理可得：2a＞3b，且a+9c＞3b，且b²＞4ac
即有2a＞3b＞18c．
结合前者，可知，最小为a=16，b=8，c=1．
则a+b+c的最小值为25．

点评 本题考查二次方程实根的分布，主要考查二次函数和二次方程的关系，运用不等式的基本性质是解题的关键．