Question

18．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1²=$\frac{1}{2}$a_n²+$\frac{1}{2}$a_n，n∈N⁺．求证：a_n＜a_n+1＜1．

Answer 1

分析 由已知可得：a_n≥0．利用数学归纳法可证明：a_n+1＜1．利用不等式性质即可证明：a_n＜a_n+1．

解答 证明：∵a_n+1²=$\frac{1}{2}$a_n²+$\frac{1}{2}$a_n≥0，∴a_n≥0，或a_n≤-1，
∵a₁=$\frac{1}{3}$，∴${a}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{3}）^{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$＜1，
∴1＞a₂＞0．
依此类推可得：a_n≥0．
下面用数学归纳法证明：a_n+1＜1．
（1）当n=1时，a₁=$\frac{1}{3}$＜1；
（2）假设当n=k时，a_k＜1，又0≤a_k，
∴${a}_{k}^{2}$≤a_k，
当n=k+1时，${a}_{k+1}^{2}$=$\frac{1}{2}{a}_{k}^{2}+\frac{1}{2}{a}_{k}$$＜\frac{1}{2}{a}_{k}+\frac{1}{2}{a}_{k}$＜a_k＜1，
又a_k+1≥0，
∴a_k+1＜1，
综上可得：对于?∈N^*，a_n＜1．
下面证明：a_n＜a_n+1．
∵${a}_{n+1}^{2}-{a}_{n}^{2}$=$\frac{1}{2}{a}_{n}^{2}+\frac{1}{2}{a}_{n}$-${a}_{n}^{2}$=$\frac{1}{2}{a}_{n}（1-{a}_{n}）$＞0，
∵?n∈N^*，a_n＞0，
∴a_n+1＞a_n．
综上可得：a_n＜a_n+1＜1．

点评 本题考查了数列的单调性、数学归纳法、不等式的性质，考查了推理能力与继续努力，属于难题．