Question

6．已知函数f（x）=3x²-x+m，g（x）=lnx有公共切线，求m的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出f（x），g（x）的导数，设出切点，求得切线的斜率，运用两点的斜率公式，整理可得m的解析式，再由导数，求得单调区间和极小值，也为最小值，即可得到m的范围．

解答 解：函数f（x）=3x²-x+m的导数为f′（x）=6x-1，
g（x）=lnx的导数为g′（x）=$\frac{1}{x}$，
设切线与f（x）和g（x）相切的切点分别为（a，b），（c，d），
则6a-1=$\frac{1}{c}$=$\frac{d-b}{c-a}$，b=3a²-a+m，d=lnc，
即有c=$\frac{1}{6a-1}$，（6a-1）（$\frac{1}{6a-1}$-a）=-ln（6a-1）-3a²+a-m，
则m=3a²-1-ln（6a-1），
m′=6a-$\frac{6}{6a-1}$=$\frac{6（2a-1）（3a+1）}{6a-1}$，
当$\frac{1}{6}$＜a＜$\frac{1}{2}$时，m′＜0，函数m递减，当a＞$\frac{1}{2}$时，m′＞0，函数m递增，
即有a=$\frac{1}{2}$时，m取得极小值，也为最小值，且为-$\frac{1}{4}$-ln2，
即有m≥-$\frac{1}{4}$-ln2，
则有m的取值范围为[-$\frac{1}{4}$-ln2，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查直线的斜率公式和构造函数求出导数，求得最小值，考查运算能力，属于中档题．