Question

11．已知关于x的方程25x²-35x+m=0的两根为sinα和cosα，α∈（0，$\frac{π}{4}$）．
（1）求m的值；
（2）求sin³（π-α）+sin³（$\frac{π}{2}-α$）的值；
（3）求$\frac{si{n}^{3}α}{1+tanα}$-$\frac{sinα•co{s}^{3}α}{sinα+cosα}$的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用韦达定理、同角三角函数的基本关系求得sinα和cosα的值，可得m的值．
（2）直接把sinα和cosα的值代入要求的式子，运算求得结果．
（3）由条件利用同角三角函数的基本关系求得所给式子的值．

解答 解：（1）由题意可得sinα+cosα=$\frac{35}{25}$=$\frac{7}{5}$，sinα•cosα=$\frac{m}{25}$．
再根据α∈（0，$\frac{π}{4}$）、sin²α+cos²α=1、cosα＞sinα，求得sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$．
∴sinα•cosα=$\frac{m}{25}$=$\frac{12}{25}$，∴m=12．
（2）sin³（π-α）+sin³（$\frac{π}{2}-α$）=sin³α+cos³ α=${（\frac{3}{5}）}^{3}$+${（\frac{4}{5}）}^{3}$=$\frac{91}{125}$．
（3）$\frac{si{n}^{3}α}{1+tanα}$-$\frac{sinα•co{s}^{3}α}{sinα+cosα}$=$\frac{{sin}^{3}α}{cosα+sinα}$-$\frac{sinα•co{s}^{3}α}{sinα+cosα}$=$\frac{sinα{（sin}^{2}{α-cos}^{2}α）}{sinα+cosα}$=sinα（sinα-cosα）=$\frac{3}{5}$×（-$\frac{1}{5}$）=-$\frac{3}{25}$．

点评 本题主要考查韦达定理、同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．