Question

16．已知函数f（x）=-3x²+2x-m+1，
（1）当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
（2）若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．

Answer 1

分析 （1）函数的零点即为函数的图象与x轴的交点的横坐标，图象和x轴分别有2个、1个或0个交点，则判别式大于0、等于0、小于0，解不等式即可得到范围；
（2）函数的一个零点在原点，说明函数的图象过原点，故有f（0）=0，解方程求m的值．

解答 解：（1）函数f（x）=-3x²+2x-m+1，
判别式△=4-12（m-1）=16-12m，
由△＞0，可得m＜$\frac{4}{3}$；由△=0，可得m=$\frac{4}{3}$；
由△＜0，可得m＞$\frac{4}{3}$．
则当m＜$\frac{4}{3}$时，函数有两个零点；
当m=$\frac{4}{3}$时，函数有一个零点；
当m＞$\frac{4}{3}$时，函数有无零点．
（2）如果函数恰有一个零点在原点处，
则函数图象过原点，f（0）=-m+1=0，
解得m=1．

点评 本题考查函数零点的概念，二次函数的图象和性质，考查解不等式的运算能力，属于基础题．