Question

8．已知函数f（x）=lnx-mx+n，m，n∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=2x-1，求m，n的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若n=0，不等式f（x）+m＜0在x∈（1，+∞）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点坐标，再由已知切线方程即可得到m，n；
（Ⅱ）求出导数，讨论m的范围，当m≤0时，当m＞0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（Ⅲ）设g（x）=lnx-mx+m，即有g（x）_max＜0在x＞1恒成立．求出g（x）的导数，对m讨论，当m≤0时，当m＞0时
①当$\frac{1}{m}$≤1即m≥1时，②当$\frac{1}{m}$＞1即0＜m＜1时，通过单调性求得最大值，即可得到m的范围．

解答 解：函数f（x）的定义域为：（0，+∞），
（Ⅰ）∵$f'（x）=\frac{1}{x}-m$，
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f'（1）=1-m=2，
∴m=-1，
又∵f（1）=1，∴-m+n=1，
∴n=0；
（Ⅱ）∵$f'（x）=\frac{1}{x}-m$，
当m≤0时，f'（x）＞0恒成立，则单调递增区间为（0，+∞），无单调减区间；
当m＞0时，由f'（x）＞0得 $0＜x＜\frac{1}{m}$，由f'（x）＜0，得$x＞\frac{1}{m}$，
综上所述：当m≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调减区间；
当m＞0时，f（x）的单调递增区间是$（0，\frac{1}{m}）$，单调递减区间是$（\frac{1}{m}，+∞）$．
（Ⅲ）由f（x）+m＜0，可得lnx-mx+m＜0在x＞1恒成立．
设g（x）=lnx-mx+m，即有g（x）_max＜0在x＞1恒成立．
由于g′（x）=$\frac{1}{x}$-m，
由（Ⅱ）知当m≤0时，g（x）在x＞0上递增，
?x＞1，g（x）＞g（1）=0，不合题意舍去；
当m＞0时，g（x）在（0，$\frac{1}{m}$）递增，在（$\frac{1}{m}$，+∞）递减，
①当$\frac{1}{m}$≤1即m≥1时，g（x）在（1，+∞）递减，
?x＞1，g（x）_max＜g（1）=0，即f（x）+m＜0符合题意；
②当$\frac{1}{m}$＞1即0＜m＜1时，g（x）在（1，$\frac{1}{m}$）递增，在（$\frac{1}{m}$，+∞）递减，
?x＞1，g（x）_max=g（$\frac{1}{m}$）＞g（1）=0，不符合题意．
综上可得，m的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．