Question

20．已知函数f（$\sqrt{x}-1）$=2x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）换元法：令t=$\sqrt{x}$-1≥-1，代入已知式子可得；
（Ⅱ）由二次函数可知当x∈[-1，+∞）函数f（x）单调递增，可得值域．

解答 解：（Ⅰ）换元法：令t=$\sqrt{x}$-1≥-1，则x=（t+1）²，
代入已知式子可得f（t）=2（t+1）²+1=2t²+4t+3，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=2x²+4x+3，x≥-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x²+4x+3，x≥-1，
由二次函数可知当x∈[-1，+∞）函数f（x）单调递增，
∴f（x）≥f（-1）=1
∴函数y=f（x）的值域为：[1，+∞）

点评 本题考查换元法求函数的解析式，涉及二次函数区间的值域，属基础题．