Question

10．若关于x的方程x²-x+a=0和x²-x+b=0（a≠b）的4个实数根可以组成首项为$\frac{1}{4}$的等差数列，求|a-b|的值．

Answer 1

分析 根据韦达定理和题意可得a₁+a₂+a₃+a₄=1+1=2，由等差数列的性质可得a₁+a₄=a₂+a₃=1，由题意求得a₄和d以及a₂、a₃的值，代入|a-b|=|a₁a₄-a₂a₃|求值．

解答 解：依题意设四根分别为a₁、a₂、a₃、a₄，公差为d，其中a₁=$\frac{1}{4}$，
因为a₁、a₂、a₃、a₄是方程x²-x+a=0和x²-x+b=0（a≠b）的4个实数根，
所以a₁+a₂+a₃+a₄=1+1=2，
由等差数列的性质得：a₁+a₄=a₂+a₃，所以a₁+a₄=a₂+a₃=1，
不妨设$\frac{1}{4}$、a₄是方程x²-x+a=0的两个实数根，a₂、a₃是x²-x+b=0的两个实数根，
所以a₄=$\frac{3}{4}$，则公差d=$\frac{{a}_{4}-{a}_{1}}{4-1}$=$\frac{1}{6}$，
则a₂=$\frac{5}{12}$，a₃=$\frac{7}{12}$，
所以|a-b|=|a₁a₄-a₂a₃|=|$\frac{1}{4}×\frac{3}{4}-\frac{5}{12}×\frac{7}{12}$|=$\frac{1}{18}$．

点评 本题考查了韦达定理（一元二次方程根与系数的关系），及等差数列的性质、通项公式，其中根据韦达定理和等差数列的性质、通项公式，求出方程的四个根是解答本题的关键，考查分析问题、解决问题的能力．