Question

5．定义在区间（m-1，m+1）上的函数f（x）=lnx-$\frac{9}{2}$x²在该区间上不是单调函数，则实数m的取值范围是[1，$\frac{4}{3}$）．

Answer 1

分析 先求函数f（x）=lnx-$\frac{9}{2}$x²的定义域，再求导f′（x）=$\frac{1}{x}$-9x=$\frac{1-9{x}^{2}}{x}$，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而再由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{m-1≥0}\\{m-1＜\frac{1}{3}}\\{m+1＞\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，从而解得．

解答 解：函数f（x）=lnx-$\frac{9}{2}$x²的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-9x=$\frac{1-9{x}^{2}}{x}$，
故当x∈（0，$\frac{1}{3}$）时，f′（x）＞0；
当x∈（$\frac{1}{3}$，+∞）时，f′（x）＜0；
∵定义在区间（m-1，m+1）上的函数f（x）=lnx-$\frac{9}{2}$x²在该区间上不是单调函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-1≥0}\\{m-1＜\frac{1}{3}}\\{m+1＞\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得，1≤m＜$\frac{4}{3}$；
故实数m的取值范围是[1，$\frac{4}{3}$）；
故答案为：[1，$\frac{4}{3}$）．

点评 本题考查了函数的单调性的判断与应用，同时考查了导数的应用，属于基础题．