Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M和N分别是AD和BC的中点．
（1）求证：PM⊥MN；
（2）求证：平面PMN⊥平面PBC；
（3）在PA上是否存在点Q，使得平面QMN∥平面PCD？若存在求出Q点位置，并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）易证PM⊥AD，由平面PAD⊥平面ABCD，可证PM⊥平面ABCD，MN?平面ABCD，从而证明PM⊥MN；
（2）由（1）可得：PM⊥BC，又底面ABCD是正方形，M和N分别是AD和BC的中点，可证BC⊥MN，从而证明BC⊥平面PMN，即可证明平面PMN⊥平面PBC；
（3）取PA的中点Q，连接QM，QN，可证QM∥PD，又MN∥DC，从而证明平面QMN∥平面PCD．

解答 证明：（1）∵△PAD是正三角形，M是AD的中点．
∴PM⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，PM?平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PM⊥平面ABCD，MN?平面ABCD，
∴PM⊥MN；
（2）∵由（1）可得：PM⊥BC，
又∵底面ABCD是正方形，M和N分别是AD和BC的中点．
∴BC⊥MN，
∵PM∩MN=M，
∴BC⊥平面PMN，
∵BC?平面PBC，
∴平面PMN⊥平面PBC；
（3）当Q为PA的中点时，使得平面QMN∥平面PCD，
证明：如图，取PA的中点Q，连接QM，QN，
∵Q，M分别为PA，AD的中点，
∴△APD中，QM∥PD，
∵底面ABCD是正方形，M和N分别是AD和BC的中点．
∴MN∥DC，
又∵MN∩QM=M，CD∩PD=D，
∴平面QMN∥平面PCD．

点评 本题主要考查了平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．