Question

3．设三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+1的导函数为f′（x）=3ax（x-2），若函数y=f（x）共有三个不同的零点，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{1}{4}$）
• B． （0，$\frac{1}{4}$）
• C． （$\frac{1}{4}$，+∞）
• D． （0，2）

Answer 1

分析 根据导数的公式求出a，b，c的关系以及函数的解析式，求函数的极值，根据极值和零点的关系进行求解即可．

解答 解：∵f（x）=ax³+bx²+cx+1的导函数为f′（x）=3ax²+2bx+c=3ax（x-2）=3ax²-6ax，
∴2b=-6a，c=0，即b=-3a，c=0，
则f（x）=ax³-3ax²+1，
①若a＞0，则由f′（x）=3ax（x-2）＞0得x＞2或x＜0，
由f′（x）＜0得0＜x＜2，则函数在x=0时取得极大值f（0）=1，
在x=2时，函数取得极小值f（2）=8a-12a+1=1-4a，
若函数y=f（x）共有三个不同的零点，则f（2）=1-4a＜0，解得a＞$\frac{1}{4}$．
②若若a＜0，则由f′（x）=3ax（x-2）＜0得x＞2或x＜0，
由f′（x）＞0得0＜x＜2，则函数在x=0时取得极小值f（0）=1，
在x=2时，函数取得极大值f（2）=8a-12a+1=1-4a，
则此时函数y=f（x）只有1个零点，不满足条件．
综上a＞$\frac{1}{4}$，
故选：C

点评 本题主要考查函数零点个数的应用，求函数的导数，利用函数极值和函数单调性之间的关系是解决本题的关键．