Question

12．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠B₁BC₁=30°，AB=BC=CA，M、N分别是棱AA₁、A₁B₁中点，则MN与AC所成的角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由题意设AB=BC=CA=2，由∠B₁BC₁=30°可得BB₁=2$\sqrt{3}$，建立空间直角坐标系可得向量$\overrightarrow{MN}$和$\overrightarrow{AC}$的坐标，由向量夹角的余弦值可得．

解答 解：由题意设AB=BC=CA=2，由∠B₁BC₁=30°可得BB₁=2$\sqrt{3}$，
由题意建立如图所示的空间直角坐标系，
可得M（-1，0，$\sqrt{3}$），N（0，0，0），A（-1，0，2$\sqrt{3}$），C（0，$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{MN}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
∴cos＜$\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{MN}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{4}$，
∴MN与AC所成的角的余弦值为$\frac{1}{4}$
故选：A

点评 本题考查异面直线所成的角，建系转化为空间向量的夹角是解决问题的关键，属中档题．