Question

6．定义在R上的函数f（x）=ax²+bx²+cx+3同时满足以下条件：
①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
②f′（x）是偶函数；
③f（x）的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=4lnx-m，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用题中的已知条件，分别求出a、b、c的值，进一步求出函数的解析式．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的解析式，进一步求出函数的导数，再利用函数的存在性问题即m＞f（x），只需满足：m＞（f（x））_min即可．从而通过求函数的最小值确定结果．

解答 解：（Ⅰ）定义在R上的函数f（x）=ax²+bx²+cx+3，
所以：f′（x）=3ax²+2bx+c
①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
所以：f′（1）=3a+2b+c=0，③
②f′（x）=3ax²+2bx+c是偶函数；
则：b=0．
f（x）的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
所以：f′（0）=-1④
解得：c=-1．⑤
把④⑤代入③解得：a=$\frac{1}{3}$
则：$f（x）=\frac{1}{3}{x}^{3}-x+3$
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=x²-1，
设g（x）=4lnx-m，若存在x∈[1，e]，
使得：4lnx-m＜x²-1
即存在x∈[1，e]，使：m＞（4lnx-x²+1）_min，
设M（x）=4lnx-x²+1 x∈[1，e]，
则：$M′（x）=\frac{4}{x}-2x$
令$M′（x）=\frac{4}{x}-2x=0$
由于 x∈[1，e]，
解得：x=$\sqrt{2}$，
当$1≤x≤\sqrt{2}$时，M′（x）＞0，所以M（x）在[1，$\sqrt{2}$]上是增函数，
当$\sqrt{2}≤x≤e$时，M′（x）＜0，所以M（x）在[$\sqrt{2}$，e]上是减函数．
即当x=$\sqrt{2}$时，函数求的最大值．
M（1）=0，M（e）=5-e²＜0
所以：m＞5-e²
即m的取值范围为：m＞5-e²

点评 本题考查的知识要点：利用函数的性质求函数的解析式，存在性问题的应用，及相关的运算问题．